<T->
          Vontade de Saber
          Matemtica 9 Ano

          Joamir Souza
          Patricia Moreno Pataro

          Impresso Braille em
          8 partes na diagramao de 
          28 linhas por 34 caracteres, 
          da 1 edio da Editora 
          FTD S.A.

          Quinta Parte  
   
          Ministrio da Educao 
          Instituto Benjamin Constant
          Diviso de Imprensa Braille
          Av. Pasteur, 350-368 -- Urca
          22290-240 Rio de Janeiro 
          RJ -- Brasil
          Tel.: (21) 3478-4400
          Fax: (21) 3478-4444 
          E-mail: ~,ibc@ibc.gov.br~,          
          ~,http:www.ibc.gov.br~,
          -- 2011 --

<P>
          Vontade de Saber Matemtica
          Copyright (C) Joamir Roberto de Souza e Patricia Rosana
          Moreno Pataro, 2009  
        
          Gerente editorial:
          Silmara Sapiense Vespasiano
          Editora:
          Rosa Maria Mangueira
          Editora assistente:
          Alessandra Abramo
 
          Todos os direitos reservados  EDITORA FTD S.A.
          Matriz: Rua Rui Barbosa, 
          156 -- Bela Vista -- 
          So Paulo -- SP 
          CEP 01326-010 -- 
          Tel. (11) 3598-6000
          Caixa Postal 65149 -- CEP da Caixa Postal 01390-970
          Internet:
  ~,http:www.ftd.com.br~,
          E-mail: ~,coord.editorial@ftd.~
          com.br~,
<p>
                                I
<R+>
<F->
Sumrio 

Quinta Parte

Captulo 7 

Relaes no tringulo 
  retngulo ::::::::::::::::: 447 
Relaes mtricas no 
  tringulo retngulo ::::::: 448
Teorema de Pitgoras :::::: 469
Relaes trigonomtricas no 
  tringulo retngulo ::::::: 482
Tabela trigonomtrica :::::: 496
ngulos notveis ::::::::::: 504
Refletindo sobre o 
  captulo :::::::::::::::::: 522
Reviso :::::::::::::::::::: 526
Testes ::::::::::::::::::::: 540
<F+>
<R->
<p>
<138>
<tv. saber mat. 9>
<T+447>
<R+>
Captulo 7 -- Relaes no tringulo retngulo

_`[{quatro imagens adaptadas_`]

I -- Tringulo retngulo com cordas e ns. Os lados tm trs, quatro e cinco partes de corda.
 II -- Uma calculadora cientfica, destacando as teclas sin, cos, tan.
 III -- Um engenheiro utilizando em uma rua, o teodolito.
 IV -- Ponte Newton Navarro sobre o rio Potengi, Natal (RN), destacando na sua estrutura o 
desenho de um tringulo retngulo.

Conversando sobre o assunto 
 a) Na imagem I est representado o contorno de um tringulo feito com cordas, muito 
utilizado pelos egpcios para obter ngulos retos. Por que os egpcios utilizavam um 
tringulo com essas medidas? 
 b) Na calculadora cientfica apresentada na imagem II esto destacadas algumas teclas. 
Qual a finalidade dessas teclas? 
 c) Na imagem III h um engenheiro em um terreno utilizando um equipamento chamado 
teodolito, cuja principal funo  determinar medidas de ngulos. Qual o interesse 
em conhecer medidas de ngulos em um terreno? 
 d) De acordo com as medidas dos ngulos internos, como pode ser classificado o 
tringulo em destaque na imagem IV? 
<R->

<139> 
<R+>
Relaes mtricas no tringulo retngulo 
<R->

  Estudamos anteriormente algumas propriedades e caractersticas dos tringulos. 
Agora, veremos relaes e propriedades existentes em tringulos retngulos, 
isto , aqueles que possuem um ngulo interno reto. Antes, porm, 
vamos 
<p>
 destacar alguns elementos do tringulo retngulo.

_`[{a moa diz_`]
  "A hipotenusa  o lado oposto 
ao ngulo reto e corresponde 
ao maior lado do tringulo 
retngulo."

<F->
          {a
         .a,.
cateto .a     a,. cateto
     .a           a,.
   .a                 a,.
 -u-----------------------u".
{b       hipotenusa         {c
<F+>

<R+>
^c?{b{c*: hipotenusa 
 ^c?{a{b* e ^c?{a{c*: catetos 
<R->
<p>
  Agora, veja esse mesmo tringulo com a altura relativa  hipotenusa `(^c?{a{d*`) 
traada.

<F->
          {a
         .l,.
       .a l   a,.         
     .a   l       a,.
   .a     l           a,.
 -u-------v---------------u".
{b        {d                {c
<F+>

  Ao traar a altura, podemos destacar trs tringulos retngulos, isto , 
{a{b{c, {a{d{c e {a{b{d. Veja como podemos verificar se esses tringulos so 
semelhantes entre si. 
  Inicialmente consideramos os trs tringulos separadamente. 

<F->
          {a
         .l,.
       .a l   a,.         
     .a   l       a,.
   .a     l           a,.
 -u-------v---------------u".
{b        {d                {c
<p>
         {a   {a
         .l    l,.
       .a l    l   a,.
     .a   l    l       a,.
   .a     l    l           a,. 
 -u-------l    v---------------u".
{b        {d  {d                {c
<F+>

<R+>
Observando o {a{b{c e o {a{d{c, podemos notar que 
:?{b{a{c*==:?{a{d{c*, pois so retos, e que :?{a{c{b*==:?{a{c{d*, pois so 
comuns aos dois tringulos. 
 Assim, {a{b{c$?;{a{d{c.
 Observando o {a{b{c e {a{b{d, podemos notar que 
:?{b{a{c*==
  ==:?{a{d{b*, pois so retos, e que :?{a{b{c*==:?{a{b{d*, pois so 
comuns aos dois tringulos. 
 Assim, {a{b{c$?;{a{b{d. 
<R->
 
  Como {a{d{c e {a{b{d so semelhantes ao {a{b{c, esses tringulos so semelhantes 
entre si, ou seja, {a{b{c$?;
 $?;{a{d{c$?;{a{b{d.
 
<R+>
A altura relativa  hipotenusa de um tringulo retngulo divide-o em 
dois outros tringulos retngulos, que so semelhantes ao maior e, 
consequentemente, semelhantes entre si.
 
Essa propriedade 
 vlida somente 
para tringulos 
retngulos.
<R->
 
<140>
  A partir da semelhana desses tringulos, podemos estabelecer algumas 
relaes entre as medidas de seus lados. Para isso, indicaremos as medidas 
dos lados dos tringulos com letras minsculas.

<F->
            {a
           .l,.
       c .a l   a,.  b       
       .a   l h     a,.
     .a  n  l     m     a,.
{b -u-------v---------------u". {c
   k       {d                 k 
   u--------------------------k
               a
<F+>
<p>
<R+>
a: medida da hipotenusa 
 b e c: medidas dos catetos 
 h: medida da altura relativa  hipotenusa 
 m e n: medidas das projees dos catetos sobre a hipotenusa 
<R->

_`[{a menina diz_`]
  "Note que uma das 
relaes  a=m+n."
 
  Como em tringulos semelhantes os lados correspondentes so proporcionais, 
podemos escrever as seguintes propores.
 
<R+>
Em relao aos tringulos {a{b{c e {a{b{d. 

<F->
          {a
         .a,.
     c .a     a,. b       
     .a           a,.
   .a                 a,.
 -u-----------------------u".
{b          a               {c

          {a
         .l 
     c .a l 
     .a   l h
   .a     l 
 -u-------l 
{b   n    {d
<F+>

ac=bh

a.h=b.c

ac=cn
 a.n=c.c

c2=a.n

cn=bh

c.h=b.n
<p>
Em relao aos tringulos {a{b{d e {a{d{c. 

<F->
          {a
         .l 
     c .a l 
     .a   l h
   .a     l 
 -u-------l 
{b   n    {d

{a
  l,.
  l   a,. b
h l       a,.
  l           a,. 
  v---------------u".
 {d       m        {c
<F+>

cb=hm

c.m=b.h
 hm=nh

h2=m.n
<p>
cb=nh

c.h=b.n

Em relao aos tringulos {a{b{c e {a{d{c.
<R->

<F->
         {a
         .a,.
     c .a     a,. b       
     .a           a,.
   .a                 a,.
 -u-----------------------u".
{b          a               {c

 {a
  l,.
  l   a,. b
h l       a,.
  l           a,. 
  v---------------u".
 {d       m        {c
<F+>
 
ab=bm
 a.m=b.b

b2=a.m

ab=ch

a.h=b.c

ch=bm

c.m=b.h


  Dessa maneira, temos as seguintes relaes mtricas no tringulo retngulo. 

<R+>
a=m+n

c.m=b.h

c2=a.n

c.h=b.n

a.h=b.c
<p>
h2=m.n

b2=a.m

As relaes repetidas so consideradas uma nica vez. 
<R->

<141>
  Exemplo: 
  Utilizando as relaes mtricas, determinaremos os valores de *a*, *b*, *c* e *h* 
no tringulo retngulo a seguir.

<F->
                     {a
                    .,l.
                .,a   l a.
          c .,a       l h a. b
        .,a           l     a. 
    .,a     19 cm    l11 cm a.
-"u-------------------v---------u. 
{b               a              {c
<F+>

<R+>
m=11 cm
 n=19 cm

a=m+n
 a=11+19
 a=30 cm
<p>
b2=a.m
 b2=30.11
 b2=330
 b^=18,17 cm

c2=a.n
 c2=30.19
 c2=570
 c^=23,87 cm

h2=m.n
 h2=11.19
 h2=209
 h^=14,46 cm
 
Lembre-se de 
que o smbolo ^=
significa que o 
valor obtido  
aproximado.
<R->

_`[{o moo diz_`]
  "Para obter os valores de b, c e h chegamos a 
uma equao na qual obtemos uma raiz positiva 
e outra negativa. Como os valores representam 
medidas de comprimento, consideramos apenas 
os valores positivos."
 
<R+>
Atividades 

Anote as respostas 
no caderno.
 
1. A figura a seguir  composta dos tringulos 
{a{b{c, {a{b{d e {a{c{d. 

<F->
          {a
         .l,.
       .a l   a,.         
     .a   l       a,.
   .a     l      37 a,.
 -u-------v---------------u".
{b        {d                {c
<F+>
   
 a) Quais as medidas dos ngulos internos 
de cada um desses tringulos? 
 b) Quais desses tringulos so semelhantes?
 
2. Determine o valor de x em cada tringulo. 
<R->
<p>
<F->
a)
          {a
         .l,.
15 cm .a l   a,.         
     .a   l12 cm a,.
   .a     l           a,.
 -u-------v---------------u".
{b  9 cm {d                {c

b)
       {a
       l,.
       l   ,. 
10 cm l      a,. 26 cm
       l  x       a,. 
       l              a,.  
       -------------------u".
      {d       24 cm        {c
<p>
c)
             {c
             .l.
           .a l a. 
  12 cm .a   l   a. 
       .a     l     a.
     .a       l       a.   
   .a  8 cm  l         a. 
 -u-----------v-----------u.
{a           x             {b 

d)
{a           20 cm          {c
 cfmcccccccccccccccccccpccccm
     a,.    14 cm     l   
         a,.         x l  
             a,.       l     
                 a,.   l
                     a,p
                       {b
<p>
e)
             {c
             .l.
           .a l a. 
         .a   l   a. 21 cm
       .a     l     a.
     .a       l       a.   
   .a         l    x    a. 
 -u-----------v-----------u.
{a         28 cm          {b 
<F+>

<142> 
<R+>
3. Em cada tringulo retngulo, x, y e z representam 
medidas em centmetros. Determine 
o valor dessas medidas.

 a)
<F->
                    .,l.
                .,a   l a.
            .,a       l   a.  
        .,a    21 cm l     a. 
    .,a               l       a.   
-"u-------------------v---------u. 
                      r::::::::::w
                         9 cm
<p>
b)
          .  
         la.
         l  a.
         l    a.
         l      a.
   x     l        a. y
         l          a.
         l 86 cm  a.
         l              a. 
  16 cm l     24 cm     a.
---------v------------------u.
             z

c)
                     {a
                    .,v
                .,a   l
     50 cm .,a       l  37,5 cm
        .,a         x l       
    .,a     40 cm    l y      
-"u-------------------v----u       
                z                
<p>
d)
          .  
         la.
         l  a.
         l    a.
         l      a.
         l        a. z
       y l          a.
         l            a.
         l              a. 
    x    l     25 cm     a.
---------v------------------u.
          41 cm            

e)
          .  
         la.
         l  a.
         l    a.
         l      a.
   x     l        a. z
       y l          a.
         l            a.
         l              a. 
  18 cm l     32 cm     a.
---------v------------------u.
    
f)
               . 
             .ala.
           .a  l  a.
         .a    l    a.
30 cm .a      l      a. z 
     .a        l        a. 
   .a     x    l    y     a.
 -u------------v------------u.
            45 cm
<F+>

4. Determine o permetro e a rea dos seguintes 
tringulos. 
 a)
<F->
                       {a
                     .,v
                 .,a   l
             .,a       l  2,5 m           
         .,a           l       
     .,a               l y      
 -"u-------------------v----u {c    
{b                     0,7 m           
<p>
b)
          {d
           .  
          la.
          l  a.
          l    a.
          l      a.
          l        a. 
          l          a.
          l            a.
          l              a. 
          l                a.
 ---------v------------------u.
{e 4,5 m           8 m       {f

c)
                     {g
                    .,l.
                .,a   l a.
            .,a       l   a.  
        .,a           l     a. 
    .,a               l3,6 m a.
-"u-------------------v---------u. 
{i            10 m             {h
<p>
d)
          {j
         .l,.
       .a l   a,.         
5 m .a   l       a,.
   .a     l           a,.
 -u-------v---------------u".
{k         13 m            {l
<F+>

5. Calcule o permetro e a rea do losango 
{a{b{c{d _`[no adaptado_`].
 
<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

6. Desafio 
 De acordo com as medidas indicadas, determine 
o valor de x. 
<R->
<p>
<F->
     {a
      l.
      l a.
      l   a.      
3 cm l     a. x
      l    .a a.
      l  .a     a.
      l.a         a.    
      v-------------u.  
     {b    3 cm     {c
<F+>

<143> 
<R+>
Teorema de Pitgoras
<R->
 
  Pitgoras foi um matemtico e filsofo grego que viveu 
por volta de 572 a.C. Nascido na ilha de Samos, 
ele viajou por muitos lugares, como Prsia e Egito, 
e de acordo com alguns relatos  possvel que tenha 
sido discpulo de Tales de Mileto. Em Crotona, 
onde atualmente  a Itlia, ele fundou a Escola 
Pitagrica, que consistia em um centro de estudos 
de Matemtica, Cincias Naturais, Filosofia etc. 
  O nome de Pitgoras  dado a um teorema por 
ter sido o primeiro a demonstr-lo, apesar de os 
babilnios e os egpcios j o utilizarem em construes 
e em medies de terras. Esse teorema 
estabelece uma relao entre os catetos e a hipotenusa 
do tringulo retngulo.
 
<R+>
De acordo com esse teorema, em todo 
tringulo retngulo a soma dos quadrados 
das medidas dos catetos  igual ao 
quadrado da medida da hipotenusa.
<R->

a2=b2+c2
 
  Podemos verificar essa relao por meio de figuras. 
Para isso, consideramos trs quadrados; 
cada um construdo a partir de um lado do tringulo 
retngulo. 
  Note que a rea do quadrado construdo a partir 
da hipotenusa  igual  soma das reas dos quadrados 
construdos a partir dos catetos. 
  Esse teorema tambm pode ser demonstrado utilizando 
algumas das relaes mtricas estudadas 
anteriormente. Observe.

<F->
          {a
           .  
          la.
          l  a.
          l    a.
          l      a.
    c     l        a. b
          l h        a.
          l            a.
          l              a. 
     n    l       m        a.
 ---------v------------------u.
{b        {d                   {c
 r:::::::::::::::::::::::::::::w
               a
<F+>
<p>
  Nesse tringulo, temos que b2=a.m e c2=a.n. Adicionando essas relaes 
membro a membro, temos:

<R+>
b2+c2=a.m+a.n 
 fatoramos am+an colocando 
*a* em evidncia
 b2+c2=a.`(m+n`)

temos m+n=a
 b2+c2=a.a
 b2+c2=a2
 
  Portanto, a2=b2+c2 
<R->

<144> 
  Muitas demonstraes do Teorema de Pitgoras foram desenvolvidas no 
decorrer da histria. Publicado em 1940, o livro *The pythagorean proposition*, 
de 
 Elisha Scott Loomis, apresenta 370 demonstraes diferentes desse teorema. 
Observe as imagens de alguns textos antigos com demonstraes do 
Teorema de Pitgoras. 
<p>
<R+>
_`[{imagens seguidas por legenda_`]
 Legenda 1: Grega, por volta de 800. 
 Legenda 2: Arbica, por volta de 1250. 
 Legenda 3: Latina, 1120.
 Legenda 4: Francesa, 1564. 
 Legenda 5: Inglesa, 1570. 
 Legenda 6: Chinesa, 1607. 

Atividades 

Anote as respostas 
no caderno. 

7. Calcule o permetro de cada tringulo. 
 a)
<F->
     l.
     l a.
     l   a.      
     l     a. 
6 m l       a.
     l         a.
     l           a.    
     v-------------u.  
           8 m

b)
                    .,
                .,a      
    14,4 m .,a          6 m
        .,a               
    .,a                   
-"u------------------------u 

c)
      8,4 m
^ccccccccccccccc
  ^             _
    ^           _
      ^         _
        ^       _
  11,6 m ^     _
            ^   _
              ^ _ 
                ^_    

d)
           15 m
   cccccccccccccccccccdc
                  ~^ 
9 m          ~^
          ~^
       ~^
<F+>

8. Qual a rea do tringulo {a{b{c? 

<F->
         {a
         #
        _
        _
85 m   _ 75 m 
        _
        _
   -----#
  {b     {c
<F+>

9. No quadro esto indicadas as medidas dos 
lados de alguns tringulos. Utilizando o 
Teorema de Pitgoras, verifique quais deles 
so tringulos retngulos. 
<p>
_`[{quadro adaptado em duas 
  colunas_`]

1 coluna: Tringulo
 2 coluna: Medida do lado (cm)
<R->

<F->
!:::::::::::::::::::::::::::
l 1   _        2         _
r:::::::w::::::::::::::::::w
l       _  a    _ b   _ c    _
r:::::::w:::::::w:::::w::::::w
l I    _ 6    _ 4  _ 3   _
r:::::::w:::::::w:::::w::::::w
l II  _ 12,5 _ 12 _ 3,5 _
r:::::::w:::::::w:::::w::::::w
l III _ 15   _ 12 _ 8   _
r:::::::w:::::::w:::::w::::::w
l IV  _ 37   _ 35 _ 12  _
h:::::::j:::::::j:::::j::::::j
<F+>

<R+>
10. Qual a medida da diagonal de um retngulo 
que possui 48 cm de comprimento 
e 4.320 cm2 de rea?
<R->
 
<145> 
<R+>
11. Calcule a medida da diagonal de cada quadrado. 

I)
<F->
pccc
l   _
v---#
2 cm

II)
pccccc
l     _
l     _
v-----#
 3 cm

III)
pccccccc
l       _
l       _
l       _
v-------#
  4 cm
<p>
IV)
pccccccccc
l         _
l         _
l         _
l         _
v---------#
   5 cm
<F+>

a) Quais regularidades podem ser observadas 
ao comparar as medidas calculadas? 
 b) Escreva uma frmula que permita calcular 
a medida da diagonal d de um 
quadrado com lado medindo l. 

12. Calcule a medida x. 

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

13. Desafio 
 Qual a rea aproximada de um tringulo 
equiltero cujo permetro  18 cm? 

14. Determine os valores de x, y e z. 

<F->
        .l,.
      .a l   a,. 3,4 m         
    .a   l x     a,.
  .a     l           a,.
-u-------v---------------u".
         r:::::::::::::::::w
                3 m

      2,1 m        z  
r:::::::::::::::w:::::::w
cmcccccccccccccccccccccm
  a.            _      
    a.          _      
      a.        _ y   
 2,9 m a.      _    
          a.    _  
            a.  _    
              a._
                ^
<F+>

15. Calcule a medida do lado ^c?{c{d* do trapzio, 
sabendo 
<p>
  que a base menor mede #,c da 
base maior. 

<F->
      {a     {d 
       pcccccc.
       l       a.
       l         a.
4,5 m l           a.
       l             a.
       v---------------u.
      {b      9 m      {c
<F+>

16. Uma viga de madeira com 6 m de comprimento 
foi apoiada em um muro como 
indicado na imagem. 

<F->
                    .,l
                .,a   l  
       5 m .,a       l 
        .,a           l 
    .,a               l
-"u-------------------l 
          4 m   
<F+>

A que distncia a base da viga deve ficar 
da base do muro para que o topo da viga 
coincida com o topo do muro? 
<p>
17. Contexto 
 Leia o texto e resolva dois dos problemas 
encontrados no papiro matemtico Cairo. 

[...] 
 O chamado papiro matemtico 
  Cairo foi desenterrado 
em 1938 e investigado em 1962. 
O papiro, que data de 300 a.C. aproximadamente, 
contm quarenta problemas de matemtica, 
nove dos quais lidam exclusivamente 
com o Teorema de Pitgoras e mostra que os 
egpcios dessa poca no s sabiam que o 
tringulo 3, 4, 5  retngulo, mas que tambm 
acontecia o mesmo para os tringulos 5, 12, 
13 e 20, 21, 29. [...] 

a) Uma escada de 10 cbitos est com 
seus ps a 6 cbitos da parede. 
Que distncia a escada alcana? 
 b) Um retngulo de rea 60 cbitos 
quadrados tem diagonal de 13 cbitos. 
Determine os lados do retngulo. 
 [...] 

Fonte: Eves, Howard. 
  *Introduo  histria da 
  matemtica*. 
Trad. Hygino H. Domingues. Campinas: 
Unicamp, 2004. p. 87.
<R->

  Cbito :> unidade de medida de 
comprimento correspondente 
ao comprimento do antebrao 
de uma pessoa. 

<146> 
<R+>
Relaes trigonomtricas no tringulo retngulo
<R->
 
  As relaes mtricas no tringulo retngulo estudadas anteriormente relacionam 
apenas as medidas dos lados do tringulo. Agora, veremos relaes 
que envolvem as medidas dos lados e tambm as dos ngulos internos do 
tringulo. O ramo da geometria que estuda os mtodos para calcular as medidas 
dos lados e dos ngulos de um tringulo  chamado trigonometria. 
  No  certa a origem da trigonometria, porm h alguns problemas relacionados 
 trigonometria registrados no Papiro de Rhind e tambm em tbulas 
babilnicas.
 
<R+>
_`[{duas imagens seguidas por 
  legenda_`]
 Legenda 1: fragmento do Papiro de Rhind. 
 Legenda 2: tbula babilnica.
<R->
 
   provvel que a trigonometria tenha iniciado com os astrnomos babilnios 
da Antiguidade.

<R+>
Trigonometria 
nas profisses: A trigonometria  de 
grande importncia 
no somente para 
os matemticos 
mas tambm para 
outros profissionais 
como engenheiros, 
astrnomos, 
topgrafos e 
msicos. 
<p>
Relaes seno, cosseno e tangente
<R->
 
  Inicialmente, vamos considerar o tringulo retngulo a seguir e determinar 
quais so os catetos oposto e adjacente em relao a certo ngulo.
 
<F->
 C
  l.
  l a.
  l   a.
  l     a. 
  l       a.
  l         a.
  l           a.
  v-------------u. 
 A              B
<F+>

<R+>
Em relao ao ngulo 
agudo :B, o lado ^c?{a{c*  
o cateto oposto, e ^c?{a{b* 
 o cateto adjacente.
 Em relao ao ngulo 
agudo :C, o lado ^c?{a{b*  
o cateto oposto, e ^c?{a{c* 
 o cateto adjacente.
<R->
 
  Agora, observe os tringulos retngulos semelhantes _`[no adaptados_`]. 

_`[{a moa diz_`]
  "Na imagem podemos notar que os 
tringulos so semelhantes, pois as 
medidas dos ngulos correspondentes 
so iguais. Ao prolongarmos os lados 
^c?{a{b* e ^c?{c{b* do {a{b{c e traarmos 
segmentos de reta paralelos ao lado 
^c?{a{c*, obtemos tringulos retngulos 
semelhantes ao {a{b{c. Nesse caso, 
{a{b{c$?;{d{b{e$?;{f{b{g." 

  Com base nas medidas indicadas nos tringulos, vamos estabelecer as 
razes seno, cosseno e tangente.
 
<R+>
{a{b=2
 {b{c=2,5
 {c{a=1,5
 {b{d=4
 {d{e=5
 {e{d=3
 {b{f=8
 {b{g=10
 {g{f=6
<R->

<147> 
  Razo entre o cateto oposto ao ngulo :B e a hipotenusa. 

<R+>
{a{b{c
 {a{c{b{c=1,52,5=0,6

{d{b{e
 {d{e{b{e=#:e=0,6

{f{b{g
 {f{g{b{g=#!aj=0,6
<R->

  Note que as razes obtidas so iguais. Essa razo  chamada seno do 
ngulo :B e indicamos por sen.:B=0,6. 
  Razo entre o cateto adjacente ao ngulo :B e a hipotenusa. 

<R+>
{a{b{c
 {a{b{b{c=22,5=0,8
<p>
 {d{b{e
 {d{b{b{e=#e=0,8

{f{b{g
 {f{b{b{g=#"aj=0,8
<R->

  As razes obtidas tambm so iguais. Essa razo  chamada cosseno do 
ngulo :B e indicamos por cos.:B=0,8. 
  Razo entre o cateto oposto e o cateto adjacente ao ngulo :B.

<R+>
{a{b{c
 {a{c{a{b=1,52=0,75

{d{b{e
 {d{e{d{b=#:d=0,75

{f{b{g
 {f{g{f{b=#!h=0,75
<R->

  Nesse caso, as razes obtidas tambm so iguais. Essa 
razo  chamada tangente do ngulo :B e indicamos por 
tg.:B=0,75. 
  Em todo tringulo retngulo podemos estabelecer as razes 
trigonomtricas seno, cosseno e tangente. 

<F->
         {b
         .l 
     a .a l 
     .a   l c
   .a     l 
 -u-------l 
{c   b    {a
<F+>

<R+>
Tomando como referncia o ngulo :C: 
 sen.:C= cateto oposto a :C  hipotenusa 
 cos.:C= cateto adjacente a :C  hipotenusa =ba
 tg.:C= cateto oposto a :C  cateto adjacente :C=bc

Tomando como referncia o ngulo :B: 
 sen.:B= cateto oposto a :B  hipotenusa =ba
 cos.:B= cateto adjacente a :B  hipotenusa =ca
<p>
 tg.:B= cateto oposto a :B  cateto adjacente a :B=bc
<R->

_`[{o moo diz_`]
  "As razes seno, 
cosseno e tangente 
no dependem das 
medidas dos lados do 
tringulo retngulo, e 
sim das medidas dos 
seus ngulos internos."
 
<R+>
Atividades 

Anote as respostas 
no caderno.

18. Identifique os catetos oposto e adjacente em relao a cada ngulo agudo dos tringulos 
<R->

<F->
                     {a
                    .,
                .,a      
            .,a           
        .,a               
    .,a                   
-"u------------------------u 
{b                         {c 
<p>
           {d
           .l 
         .a l 
       .a   l
     .a     l
{e .a       l
    a.      l
      a.    l 
        a.  l 
          a.l
            a
           {f

{g cccccccccccccccccccdc {i
                  ~^ 
              ~^
          ~^
       ~^
       {h
<p>
{j
 l.
 l a.
 l   a.      
 l     a. 
 l       a.
 l         a.
 l           a.    
 v-------------u.  
{k              {l
<F+>

<148> 
<R+>
19. De acordo com o {a{b{c, responda. 
 
<F->
                      {a
                     .,l
                 .,a   l  
      24 cm .,a       l 
         .,a           l 12 cm 
     .,a 30          l
 -"u-------------------l 
{b                    {c
<F+>

a) Qual a medida aproximada do lado ^c?{b{c*? 
 b) Qual a medida do ngulo :A? 
<p>
 c) Os ngulos :A e :B so complementares 
ou suplementares? Justifique. 
 d) Calcule sen.:B e cos.:A. O que voc pde 
observar em relao aos resultados 
obtidos?
 
Quando necessrio, arredonde os valores 
calculados ao milsimo mais prximo.
 
20. Calcule o seno, o cosseno e a tangente 
do ngulo :A em cada tringulo. 
 a)
<F->
     {a
      l.
      l a.
      l   a.      
4 cm l     a. 5,8 cm
      l       a.
      l         a.
      l           a.    
      v-------------u.  
     {b   4,2 cm    {c
<p>
b)
{a        6 cm        {c
 cfmcccccccccccccccccccl
     a,.               l 
         a,.           l 1,1 cm
     6,1 cm a,.       l   
                 a,.   l
                     a,l
                       {b

c)
                      {a
                     .,l
                 .,a   l  
       6 cm .,a       l 
         .,a           l 4,8 cm 
     .,a               l
 -"u-------------------l 
{b       3,6 cm       {c
<p>
d)
        5,55 cm
{a cccccccccccccccccccdc {c
                  ~^ 
              ~^
          ~^ 5,25 cm
       ~^
       {b
<F+>

21. Determine a tangente dos ngulos indicados 
na malha quadriculada. 
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<R+>
22. Observe como Juliano calculou o valor 
aproximado de sen.50.
<R->

_`[{o menino diz_`]
  "Inicialmente, utilizando rgua e transferidor, 
constru um tringulo retngulo com um 
dos ngulos medindo 50."
<p>
_`[{o menino diz_`]
  "Depois, com a rgua, obtive as medidas aproximadas 
dos lados do tringulo e calculei o sen.50."
 
<R+>
a) Calcule os valores aproximados de 
cosseno e tangente de 50. 
 b) De maneira semelhante, calcule o seno, 
o cosseno e a tangente de: 21, 36, 55, 70.
 
23. Em cada ficha esto indicadas as medidas 
dos lados de um tringulo retngulo. 

{a{b=5,25 cm 
 {a{c=7,25 cm 
 {b{c=5,0 cm 

{d{e=4,0 cm 
 {d{f=7,5 cm 
 {e{f=8,5 cm 

{g{h=7,0 cm 
 {g{i=7,4 cm 
 {h{i=2,4 cm
 
Calcule: 
 a) sen.:C e cos.:C 
 b) cos.:F e tg.:F
 c) sen.:G e tg.:I
<R->
 
<149> 
Tabela trigonomtrica
 
  Para cada medida de ngulo, temos um valor correspondente para as razes 
trigonomtricas seno, cosseno e tangente. Esses valores (aproximados) podem 
ser obtidos consultando uma tabela trigonomtrica, como a apresentada. 

<R+>
_`[{tabela trigonomtrica adaptada em quatro colunas: ngulo -- Seno -- Cosseno -- Tangente_`]
 1 -- 0,017 -- 1,000 -- 0,017 
 2 -- 0,035 -- 0,999 -- 0,035 
 3 -- 0,052 -- 0,999 -- 0,052 
 4 -- 0,070 -- 0,998 -- 0,070 
 5 -- 0,087 -- 0,996 -- 0,087 
 6 -- 0,105 -- 0,995 -- 0,105 
 7 -- 0,122 -- 0,993 -- 0,123 
 8 -- 0,139 -- 0,990 -- 0,141 
 9 -- 0,156 -- 0,988 -- 0,158 
 10 -- 0,174 -- 0,985 -- 0,176 
 11 -- 0,191 -- 0,982 -- 0,194 
 12 -- 0,208 -- 0,978 -- 0,213 
 13 -- 0,225 -- 0,974 -- 0,231 
 14 -- 0,242 -- 0,970 -- 0,249 
 15 -- 0,259 -- 0,966 -- 0,268 
 16 -- 0,276 -- 0,961 -- 0,287 
 17 -- 0,292 -- 0,956 -- 0,306 
 18 -- 0,309 -- 0,951 -- 0,325 
 19 -- 0,326 -- 0,946 -- 0,344 
 20 -- 0,342 -- 0,940 -- 0,364 
 21 -- 0,358 -- 0,934 -- 0,384 
 22 -- 0,375 -- 0,927 -- 0,404 
 23 -- 0,391 -- 0,921 -- 0,424 
 24 -- 0,407 -- 0,914 -- 0,445 
 25 -- 0,423 -- 0,906 -- 0,466 
 26 -- 0,438 -- 0,899 -- 0,488 
 27 -- 0,454 -- 0,891 -- 0,510 
 28 -- 0,469 -- 0,883 -- 0,532 
 29 -- 0,485 -- 0,875 -- 0,554 
 30 -- 0,500 -- 0,866 -- 0,577 
 31 -- 0,515 -- 0,857 -- 0,601 
 32 -- 0,530 -- 0,848 -- 0,625 
 33 -- 0,545 -- 0,839 -- 0,649 
 34 -- 0,559 -- 0,829 -- 0,675 
 35 -- 0,574 -- 0,819 -- 0,700 
 36 -- 0,588 -- 0,809 -- 0,727 
 37 -- 0,602 -- 0,799 -- 0,754 
 38 -- 0,616 -- 0,788 -- 0,781 
 39 -- 0,629 -- 0,777 -- 0,810 
 40 -- 0,643 -- 0,766 -- 0,839 
 41 -- 0,656 -- 0,755 -- 0,869 
 42 -- 0,669 -- 0,743 -- 0,900 
 43 -- 0,682 -- 0,731 -- 0,933 
 44 -- 0,695 -- 0,719 -- 0,966 
 45 -- 0,707 -- 0,707 -- 1,000 
 46 -- 0,719 -- 0,695 -- 1,036 
 47 -- 0,731 -- 0,682 -- 1,072 
 48 -- 0,743 -- 0,669 -- 1,111 
 49 -- 0,755 -- 0,656 -- 1,150 
 50 -- 0,766 -- 0,643 -- 1,192 
 51 -- 0,777 -- 0,629 -- 1,235 
 52 -- 0,788 -- 0,616 -- 1,280 
 53 -- 0,799 -- 0,602 -- 1,327 
 54 -- 0,809 -- 0,588 -- 1,376 
 55 -- 0,819 -- 0,574 -- 1,428 
 56 -- 0,829 -- 0,559 -- 1,483 
 57 -- 0,839 -- 0,545 -- 1,540 
 58 -- 0,848 -- 0,530 -- 1,600 
 59 -- 0,857 -- 0,515 -- 1,664 
 60 -- 0,866 -- 0,500 -- 1,732 
 61 -- 0,875 -- 0,485 -- 1,804 
 62 -- 0,883 -- 0,469 -- 1,881 
 63 -- 0,891 -- 0,454 -- 1,963 
 64 -- 0,899 -- 0,438 -- 2,050 
 65 -- 0,906 -- 0,423 -- 2,145 
 66 -- 0,914 -- 0,407 -- 2,246 
 67 -- 0,921 -- 0,391 -- 2,356 
 68 -- 0,927 -- 0,375 -- 2,475 
 69 -- 0,934 -- 0,358 -- 2,605 
 70 -- 0,940 -- 0,342 -- 2,747 
 71 -- 0,946 -- 0,326 -- 2,904 
 72 -- 0,951 -- 0,309 -- 3,078 
 73 -- 0,956 -- 0,292 -- 3,271 
 74 -- 0,961 -- 0,276 -- 3,487 
 75 -- 0,966 -- 0,259 -- 3,732 
 76 -- 0,970 -- 0,242 -- 4,011 
 77 -- 0,974 -- 0,225 -- 4,331 
 78 -- 0,978 -- 0,208 -- 4,705 
 79 -- 0,982 -- 0,191 -- 5,145 
 80 -- 0,985 -- 0,174 -- 5,671 
 81 -- 0,988 -- 0,156 -- 6,314 
 82 -- 0,990 -- 0,139 -- 7,115 
 83 -- 0,993 -- 0,122 -- 8,144 
 84 -- 0,995 -- 0,105 -- 9,514 
 85 -- 0,996 -- 0,087 -- 11,430 
 86 -- 0,998 -- 0,070 -- 14,301 
 87 -- 0,999 -- 0,052 -- 19,081 
<p>
 88 -- 0,999 -- 0,035 -- 28,636 
 89 -- 1,000 -- 0,017 -- 57,290 
<R->

  Note que essa tabela apresenta os valores para as razes trigonomtricas 
de ngulos de 1 a 89 com aproximaes de trs casas decimais.

<150>
  Observe o exemplo. 
  No esquema a seguir, um avio decola do ponto A e voa 3,6 km em linha reta, 
quando sobrevoa o ponto B. Para calcular a medida de ^c?{b{c*, correspondente  
altura do avio, temos de calcular o seno de 22, isto : 
<p>
<R+>
sen.22=?{b{c*3,6 (I)
<R->

<F->
                      {c
                     .,l
                 .,a   l  
     3,6 km .,a       l 
         .,a           l 
     .,a 22          l
 -"u-------------------l 
{a                    {b
<F+>

  Ao consultar a tabela, verificamos que o valor de sen.22  aproximadamente 
0,375. Substituindo esse valor em I, obtemos a medida de ^c?{b{c*.

<R+>
sen.22=?{b{c*3,6
 0,375=?{b{c*3,6
 {b{c=1,35
<R->

  Assim, a altura do avio ao sobrevoar o ponto B  1,35 km. 
  De maneira semelhante, tambm podemos calcular a medida 
de ^c?{a{b*. Para isso, utilizamos a 
<p>
 razo cosseno e a tabela 
trigonomtrica. 

<F->
!:::::::::::::::::::::::::::::
l ngulo _ Seno    _ Cosseno _
r:::::::::w::::::::::w::::::::::w
l 20    _ 0,342   _ 0.940   _
r:::::::::w::::::::::w::::::::::w
l 21    _ 0,358   _ 0,934   _
r:::::::::w::::::::::w::::::::::w
l 22    _ *0,375* _ *0,927* _
r:::::::::w::::::::::w::::::::::w
l 23    _ 0,391   _ 0,921   _
r:::::::::w::::::::::w::::::::::w
l 24    _ 0,407   _ 0,914   _
h:::::::::j::::::::::j::::::::::j
<F+>

<R+>
cos.22=?{a{b*3,6
 0,927=?{a{b*3,6
 {a{b~?;3,337
<R->

  Assim, a medida de ^c?{a{b*  aproximadamente 3,337 km. 
  Alm de obtermos a medida dos lados, tambm podemos calcular a medida 
dos ngulos em um tringulo retngulo. 
  Veja, por exemplo, como calcular a medida do ngulo :B no {a{b{c. 
  Utilizando a relao cosseno, temos: 

<R+>
cos.:B=?{a{b*?{b{c*=7,8
  14~?;0,557
<R->

<F->
{c
 l.
 l a.
 l   a.      
 l     a. 14 cm
 l       a.
 l         a.
 l           a.    
 v-------------u.  
{a   7,8 cm    {b
<F+>

<p>
<F->
!:::::::::::::::::::::::::::
l ngulo _ Seno  _ Cosseno _
r:::::::::w::::::::w::::::::::w
l 54    _ 0,809 _ 0,588   _
r:::::::::w::::::::w::::::::::w
l 55    _ 0,819 _ 0,574   _
r:::::::::w::::::::w::::::::::w
l *56*  _ 0,829 _ 0,559   _
r:::::::::w::::::::w::::::::::w
l 57    _ 0,839 _ 0,545   _
r:::::::::w::::::::w::::::::::w
l 58    _ 0,848 _ 0,530   _
h:::::::::j::::::::j::::::::::j
<F+>

  Consultando a tabela, verificamos qual  a medida do ngulo cujo cosseno 
mais se aproxima do valor obtido. Nesse caso, temos que a medida de :B  
aproximadamente 56.

<151> 
<R+>
ngulos notveis
<R->
 
   comum encontrarmos situaes envolvendo tringulos retngulos em que 
aparecem ngulos internos com 30, 45 e 60. Esses n-
<p>
 gulos so chamados 
ngulos notveis. 

<R+>
Seno, cosseno e tangente de 30 e 60 
<R->

  Vamos considerar o tringulo equiltero {a{b{c cujos lados medem *a*.

<F->
               {a
               v
               l
               l 
               l  
               l   
          30 l30
       a       l      a
               l      
               l h      
               l         
               l          
     60      l     60  
{b ------------v-----------u {c
   k   a2    {d    a2   { 
   r::::::::::::::::::::::::w
                a

               {a
               l
               l
               l
               l
               l
          30 l
       a       l h
               l
               l 
               l
               l
     60      l
{b ------------l
       a2     {d
<F+>

<R+>
a2=`(a2`)2+h2
 a2=a24+h2
 h2=a2-a24
 h2=3a24
 h=3a24=a32
<R->

_`[{a moa diz_`]
  "Nesse tringulo, h `(^c?{a{d*`), 
que corresponde  altura 
relativa ao lado ^c?{b{c*, pode 
ser escrita em funo de 
a. 
<p>
 Para isso, utilizamos o 
Teorema de Pitgoras."

  De acordo com esse tringulo, calculamos o seno, o cosseno e a tangente 
dos ngulos de 30 e 60. 
  
<R+>
Seno de 30 e 60 
 sen.30=?{b{d*?{a{b*=?a2*a=
  =a2.1a=#,b
 sen.60=?{a{d*?{a{b*=?a3
  2*a=?a3*2.1a=32

Cosseno de 30 e 60 
 cos.30=?{a{d*?{a{b*=?a3
  2*a=?a3*2.1a=32
 cos.60=?{b{d*?{a{b*=?a2*a=
  =a2.1a=#,b

Tangente de 30 e 60
 tg.30=?{b{d*?{a{d*=?a2*
  ?a3*2=a2.2a3=
  =13=33
 tg.60=?{a{d*?{b{d*=?a3
  2*?a2*=?a3*2.2a=
  =3.2a=3
<R->

<152> 
<R+>
Seno, cosseno e tangente de 45 
<R->

  Vamos considerar o quadrado {a{b{c{d cujos lados medem *a*. 

<F->
 {d          {c
  pcccccccccl 
  l       .a l 
a l   d .a   l a
  l   .a     l
  l .a 45  l 
  vu---------l 
 {a     a    {b

           {c
           .l 
         .a l 
     d .a   l a
     .a     l
   .a 45  l 
 -u---------l 
{a     a    {b
<F+>

<R+>
d2=a2+a2
 d2=2a2
 d=2a2
 d=a2
<R->

_`[{o moo diz_`]
  "A diagonal d `(^c?{a{c*`) desse 
quadrado pode ser 
escrita em funo de a. 
Para isso, utilizamos o 
Teorema de Pitgoras." 

  De acordo com esse quadrado, calculamos o seno, o cosseno e a tangente 
de 45. 
  
<R+>
Seno de 45 
 sen.45=?{b{c*?{a{c*=a?a2*=
  =12=22

Cosseno de 45
 cos.45=?{a{b*?{a{c*=a?a2*=
  =12=22
 
Tangente de 45 
 tg.45=?{b{c*?{a{b*=aa=1
<R->

  Organizando os resultados obtidos em um quadro, temos:

<R+>
_`[{quadro adaptado em quatro colunas: x -- 30 -- 45 -- 60_`]
 sen.x -- #,b -- 22 -- 32
 cos.x -- 32 -- 22 -- #,b
 tg.x -- 33 -- 1 -- 3
<R->

<153> 
<R+>
Atividades 

Anote as respostas 
no caderno.
 
24. De acordo com a tabela trigonomtrica, 
escreva os valores de: 
 a) sen.15 
 b) sen.85 
 c) cos.37 
 d) cos.70 
 e) tg.26 
 f) tg.48 

Para resolver as atividades 24, 25, 26 
e 27 consulte a tabela trigonomtrica. 

25. Em cada item, determine a medida aproximada 
de :A.
 a) sen.:A=0,3577 
 b) sen.:A=0,8094 
 c) cos.:A=0,7659 
 d) cos.:A=0,3749 
<p>
 e) tg.:A=0,1758 
 f) tg.:A=9,5142
 
26. Sem utilizar transferidor, determine a medida 
aproximada dos ngulos em destaque. 
 a)
<F->
     2,9 cm
cmccccccccccccccl
  a.            l
    a.          l
      a.        l
4,2 cm a.      l
          a.    l
            a.  l
              a.l
                a

b)
        v
        l
        l 
3,5 cm l   3,7 cm
        l   
        l    
        v-----u
<p>
c)
        .a.
      .a   a.
    .a       a. 2,8 cm
  .a           a. 
-u---------------u.
      4,1 cm

d)
            .a.
          .a   a.
2,5 cm .a       a. 3 cm
      .a           a. 
    -u---------------u.
<F+>
    
27. Calcule o valor de x em cada um dos tringulos. 
<R->

<F->
a)
                    .,
                .,a      
  23 cm .,a           
        .,a               
    .,a              60 
-"u------------------------u 
             x
<p>
b)
            x 
 cfmccccccccccccccccccccccl
     a,.                  l 
         a,.              l 
   23 cm a,.          l   
                 a,. 60 l
                     a,.  l
                         ab
c)
      33 cm
pcccccccccccccccccccmfc   
l          30 .,a 
l           .,a
l       .,a x        
l   .,a
l,a 

d)  
  l.
  l a.
  l   a.      
  l 45a.        
x l       a. 22 cm
  l         a.
  l           a.    
  v-------------u.  

e)
                     .,l
                 .,a   l  
             .,a       l 
         .,a           l x
     .,a 30          l
 -"u-------------------l 
         2,5 cm

f)
cmccccccccccccccccccccccm
  a. 45              
    a.                 
      a.              
      x a.           3,8 cm
          a.       
            a.       
              a. 
                ^
<F+>

<R+>
28. Qual o permetro aproximado de cada tringulo 
retngulo? 
<p>
<F->
A        C
pcccccccccm
l        
l       
l      
l18 
l    
l    3,7 cm
l  
l 
l 
p
B

:B=18

         {g
         .a.
       .a   a.
     .a       a. 22 cm
   .a 45      a. 
 -u---------------u.
{h                {i

:H=45

<p>
{d                              {f
 cfmcccccccccccccccccccccccccccccm
     a,.                   60  
         a,.                     
       5 cm a,.                 
                 a,.         
                     a,.    
                         a,
                          {e
:F=60

       {j
        l.
        l a.
        l   a.      
        l 32a.        
3,1 cm l       a. 
        l         a.
        l           a.    
        v-------------u.
       {k              {l 

:J=32
<F+>

<154>
<p> 
_`[{para as atividades 29, 32, 33, 35, 37, 38 e 39, pea orientao ao professor_`]

29. Determine a medida do ngulo :?{b{a{c* indicado 
na figura _`[no adaptada_`]. 

30. No momento do dia em que os raios do 
Sol esto inclinados 45 em relao ao 
solo, o mastro no ptio de uma escola 
projeta uma sombra de 4,35 m. Qual a 
altura desse mastro? 

<F->
l.
l a.
l   a.      
l     a.        
l       a. 
l         a.
l      45 a.    
v-------------u.
    4,35 m
<F+>
<p>
31. Contexto 
 O topgrafo  o profissional responsvel 
por representar no papel a configurao 
da superfcie de uma regio, localizando 
tanto os acidentes naturais (lagos, encostas, 
rios etc.) quanto os artificiais (casas, 
pontes, estradas etc.). Para isso, ele 
vai at o local a ser representado para 
realizar medies, processa e analisa os 
dados coletados e, a partir da, obtm 
as informaes necessrias para representar 
a regio. Um dos instrumentos utilizados 
pelo topgrafo  o teodolito, que 
permite determinar, com preciso, a medida 
de ngulos tanto na horizontal quanto 
na vertical.
 De acordo com o esquema _`[no adaptado_`] e as medidas 
obtidas por um topgrafo, calcule a largura 
x do lago representado. 

32. Observe no esquema _`[no adaptado_`] algumas medidas 
obti-
<p>
  das por um engenheiro. 
 Qual a altura desse prdio? 

33. Calculadora 
 Observe a figura que Joseane construiu 
utilizando papel milimetrado. 
 Com o auxlio de uma calculadora e consultando 
a tabela trigonomtrica, determine 
a medida aproximada de cada ngulo 
indicado. 

_`[{figuras no adaptadas_`]

34. Um pedestre est subindo uma rampa 
com 22 m de comprimento que forma 
com a horizontal um ngulo de 15. A que 
altura estar o pedestre quando chegar 
ao topo da rampa? 
<R->

<155>
<p>
<R+>
35. Determine a rea de cada tringulo. 

_`[{figuras no adaptadas_`]

36. Calcule o permetro e a rea de cada figura. 
 a) losango 

<F->
      p^^^^^^^^^^^^l.
      l          .a l a.
      l        .a   l   a.
      l      .a53 l     a.
      l    .a       l       a.
4 cm l  -u---------v---------u.
      l   a.        l        .a
      l     a.      l      .a
      l       a.    l    .a
      l         a.  l  .a
      l           a.l.a
      a^^^^^^^^^^^^^a  
<F+>
<p>
 b) trapzio issceles 

<F->
     ccc^^^^^^^
               _
               _ 23 cm
               _
       60    _
-------------u#
     5 cm
<F+>

37. Uma escada de 2,6 m est apoiada em 
uma parede 40 cm abaixo de uma janela. 
Determine a que altura a janela est 
do solo sabendo que a escada forma 
com a horizontal um ngulo de 58.

38. Calcule a rea aproximada do quadriltero 
{a{b{c{d _`[no adaptado_`] sabendo que o dimetro da 
circunferncia de centro O mede 6 cm. 

39. Uma pessoa observa o alto de um prdio 
em dois momentos sob diferentes ngulos, 
conforme o esquema _`[no adaptado_`]. 
 Qual a distncia aproximada entre a pessoa 
e o prdio no: 
 a) 1 momento? 
 b) 2 momento?
<R->
 
<156>
<R+>
Refletindo sobre o captulo
 
Anote as respostas 
no caderno.

1. Quais foram os contedos abordados neste captulo? 
 2. Explique o que voc entende por trigonometria. 
 3. Qual a diferena entre relaes mtricas e trigonomtricas no tringulo retngulo? 
 4. Leia o que Jussara est dizendo. 
<R->

  "Em um tringulo retngulo, o quadrado 
da medida da hipotenusa  igual  
soma das medidas dos catetos." 

<R+>
A afirmao feita por Jussara est correta? Justifique.

5. Como voc escolhe a relao mtrica mais conveniente para determinar certa medida 
em um tringulo retngulo? 

 6. A afirmao do quadro a seguir est correta? Por qu? 

Dadas as medidas de dois lados de um tringulo 
retngulo,  sempre possvel obter a medida do outro.

7. Explique o que so o seno, o cosseno e a tangente. 
 8. Em quais circunstncias  conveniente utilizar a tabela trigonomtrica? 
 
9. Observe as imagens e, a partir dos contedos estudados neste captulo, elabore e 
escreva algumas questes relacionadas a elas. Junte-se a um colega, troquem as 
questes que vocs elaboraram e discutam as resolues. 

_`[{seis imagens adaptadas_`]

1 -- Um tringulo retngulo e em cada lado h um quadrado cujo lado  igual a cada lado do tringulo.
 2 -- Um telhado, destacando seu formato e os tringulos existentes.
 
3 -- _`[{quadro adaptado em quatro colunas: x -- 30 -- 45 -- 60_`]
 sen.x -- #,b -- 22 -- 32
 cos.x -- 32 -- 22 -- #,b
 tg.x -- 33 -- 1 -- 3

4 -- Uma gravura onde h demonstrao do Teorema de 
  Pitgoras.
 5 -- Um tringulo retngulo e as relaes:
<R->
<p>
<F->
          {a
           .  
          la.
          l  a.
          l    a.
          l      a.
    c     l        a. b
          l h        a.
          l            a.
          l              a. 
     n    l       m        a.
 ---------v------------------u.
{b        {d                   {c
 r:::::::::::::::::::::::::::::w
               a
<F+>

<R+>
a=m+n
 c2=a.n
 a.h=b.c
 h2=m.n
 c.m=b.h
 c.h=b.n
 b2=a.m
<p>
6 -- Um observador de altura 1,8 m olha para um poste que est distante de 23,5 m sob um ngulo de 18.

<157> 
Reviso 

Anote as respostas 
no caderno.

_`[{para as atividades 43, 44 e 53, pea orientao ao 
  professor_`]

40. Determine o valor de x em cada figura. 

<F->
a)
        .l,.
      .a l   a,. 
    .a   l x     a,.
  .a     l           a,.
-u-------v---------------u".
  3 cm        8 cm

<p>
b)

  v^^
  l  
  l   
  l    
  l     
  l       8 cm
x l       
  l        
  l         
  l          
  l 4 cm .,aaa
  l   .,a    
  v"u---------u
<F+>

41. Calcule a rea de cada tringulo. 
<F->
a)
            .v
          .a l
        .a   l  
      .a     l  
    .a       l   
  .a         l    
-u-----------v-----u
  12 cm      8 cm 

b)
          .  
         la.
         l  a.
12 cm   l    a. 
         l      a. 16 cm
         l        a.
         l          a. 
   ------v------------u.
          20 cm
<F+>

42. Determine a medida do lado ^c?{b{c*.

<F->
    {a       7,2 m        {b
     pcccccccccccccccccccmfc   
     l               .,a 
     l           .,a
5,4 l       .,a 
     l   .,a
     l,a 
    {c 
<F+>

43. Para construir certa circunferncia, um 
compasso  aberto em 90. De acordo 
com as medidas indicadas, qual o raio 
dessa circunferncia?
<p>
44. Mrcia quer enfeitar a maquete de uma 
casa contornando a fachada com um fio 
de luzes coloridas, conforme mostra a 
figura _`[no adaptada_`]. Quantos centmetros desse fio de 
luzes coloridas sero necessrios? 

Os ngulos indicados em verde 
tm a mesma medida. 

45. Calcule a medida da diagonal de cada 
figura.
<R->

<F->
a)
pccccc
l     _ 6 cm
l     _
v-----#
 6 cm
<p>
b)
  12 cm
pcccccccccc
l          _
l          _ 9 cm
l          _
l          _
v----------#
<F+>

<158> 
<R+>
46. Indique os catetos oposto e adjacente em 
relao ao ngulo em destaque de cada 
tringulo.

<F->
a)
{b          {c
 pcccccccccma
 l       .a
 l     .a
 l   .a
 l .a
 la   
:A
<p>
b)

:E
 v
 l
 l 
 l  
 l   
 l    
 v-----u
{d     {f

c)
         {o
         .a.
       .a   a.
     .a       a.
   .a           a.
 -u---------------u.
:M                {n
<p>
d)
                      :Q
                     .,l
                 .,a   l  
             .,a       l 
         .,a           l  
     .,a               l
 -"u-------------------l 
{p                     {r
<F+>

47. Com o auxlio de uma rgua, determine 
as medidas dos lados do tringulo 
e calcule: 

<F->
                       {a 
                     .,l
                 .,a   l  
             .,a       l 
         .,a           l  
     .,a 35          l
 -"u-------------------l 
{c                     {b
<F+>

 a) tg.35 
 b) sen.35 
<p>
 c) sen.55 
 d) cos.55 

Se necessrio, arredonde os resultados 
para a unidade de milhar mais prxima. 

48. Utilizando as igualdades apresentadas no 
quadro, determine a medida dos ngulos 
internos de cada tringulo.

  tg.42=0,90
  cos.48=0,67
  cos.50=0,64
  sen.50=0,77
  sen.52=0,79
  tg.54=1,38

<F->
          4,69 cm
        pcccccccccma
        l       .a
        l     .a
3,9 cm l   .a 6,1 cm
        l .a
        la   

         l.
         l a.
         l   a. 6,16 cm
4,12 cm l     a.
         l       a.
         v---------u.   
           4,58 cm

            .l
          .a l  
4,6 cm .a:dl 
      .a     l  3,75 cm
    .a       l
  -u---------l 
    2,72 cm
<F+>

49. Calcule a altura h do tringulo.
<R->

<F->
              .l.
            .a l a.
          .a   l   a.
        .a     l     a. 6 cm
      .a       l h     a.
    .a         l         a.
  .a 45      l           a.
-u-------------v-------------u.
<F+>
 
<159> 
<R+>
50. Para auxiliar na sustentao de um poste, 
foi fixado um cabo de ao de 6 m de 
comprimento formando um ngulo de 60 
com o solo, conforme mostra a figura. 
Qual a altura do poste?
 
<F->
    ^^^^  
    _ 3 m
o::^^^^^^^^
     a.
       a.
         a.
           a. 6 m
             a.
          60 a.
    -------------u. 
<F+>

51. O esquema _`[no adaptado_`] mostra como um caminho de 
bombeiros se posicionou para ter acesso 
a uma janela do segundo andar de um prdio 
utilizando uma escada. Qual o comprimento 
da escada? 
<p>
52. Qual ficha apresenta apenas informaes 
corretas acerca do {a{b{c? 

<F->
    {b
     l.
     l a.
     l   a. 
3 m l     a.
     l  32 a.
     v---------u.  
    {a          {c
<F+>

a)
 {b{c=5,66 m
 {a{c=4,8 m

b)
 {b{c=4,8 m
 {a{c=5,66 m

c)
 {b{c=1,59 m
 {a{c=1,87 m

d)
 {b{c=1,87 m
 {a{c=1,59 m
<p>
e)
 {b{c=5,66 m
 {a{c=1,87 m

f)
 {b{c=1,59 m
 {a{c=4,8 m

Para resolver as atividades 52 e 53, se 
necessrio, arredonde os resultados ao 
centsimo mais prximo. 

53. Calcule a medida de x em cada uma das 
figuras. 
<F->
a)

v
l
l 
l  
l    20 cm
l    
l     
l  73
v-------u
    x
<p>
b)
pcmcccccccccccccccccccl
l   a,. 36          l
l       a,.           l x
l           a,.       l
l               a,.   l
v-------------------u"l
        25 cm

c)
      pcccccccccccc,.
      l               a,. x
5 cm l              38 a,. 
      v-----------------------u".

d)

v,.
l  a,. x
l      a,.  
l          a,.
l              a,.  
l          49.a
l            .a   
l          .a      
l   57 .a           
ccccccccca 
  9 cm
<F+>
<p>
54. Para calcular a altura de uma rvore, Marcelo 
construiu o esquema a seguir com 
o auxlio de um teodolito. Qual  a altura 
aproximada dessa rvore? 
<R->

<F->
               #
              _
              _
              _
              _
              _
              _
        65  _
       -------#
1,6 m l       _ 
       v-------#
         14 m
<F+>

<160> 
<R+>
55. Contexto 
 Algumas empresas utilizam esteiras elevatrias para levar seus produtos ao caminho que 
far o transporte. Conforme a altura da carroceria desse caminho  necessrio ajustar 
a esteira, sendo esse ajuste feito alterando o ngulo de inclinao da esteira. 
De acordo com um fabricante de esteiras elevatrias, o ngulo de inclinao de uma esteira 
com 10 m de comprimento pode variar de 0 a 32. Observe o esquema _`[no 
  adaptado_`]. 
 a) Quais as alturas mnima e mxima que essa esteira pode atingir? 
 b) Calcule a altura que a esteira atinge quando o ngulo de inclinao : 12, 19, 28. 
 c) Determine o ngulo de inclinao quando a altura da esteira : 2,76 m, 4,95 m, 6,35 m. 

Testes 

Anote as respostas 
no caderno.
 
56. (ENEM) Na figura _`[no adaptada_`], que representa o projeto 
de uma escada com 5 degraus de mesma 
altura, o comprimento total do corrimo 
 igual a: 
 a) 1,8 m 
 b) 1,9 m 
 c) 2,0 m 
 d) 2,1 m 
 e) 2,2 m 

57. (UEMGMG) No alto de um bambu vertical 
est presa uma corda. A parte da corda 
em contato com o solo mede 2 m. 
Quando a corda  esticada, sua extremidade 
toca no solo a uma distncia de 7 m 
do p do bambu, conforme mostra a figura 
_`[no adaptada_`]. 
 De acordo com o enunciado anterior, a altura 
do bambu corresponde a: 
 a) 15,1 m 
 b) 12,7 m 
 c) 11,25 m 
 d) 15,25 m 
<R->
 
<161> 
<R+>
58. (UCSRS) Para determinar a altura do 
edifcio onde mora, um menino de 1,30 m 
de altura afasta-se do prdio 18 m e, 
deste ponto, avista o topo do imvel sob 
um ngulo de 30. 
 A altura do prdio, em metros,  um valor: 
 a) entre 11 e 12 
 b) entre 12 e 13 
 c) entre 13 e 14 
 d) menor que 11 
 e) maior que 14 

Dados: sen.30=#,b e cos.30=32.

59. (UPMRJ) Uma estao E, de produo 
de energia eltrica, e uma fbrica F esto 
situadas nas margens opostas de um 
rio de largura 13 km. Para fornecer energia 
a F, dois fios eltricos a ligam a E, um 
por terra e outro por gua, conforme a figura. 
Supondo-se que o preo do metro 
do fio de ligao por terra  R$12,00 e 
que o metro do fio de ligao pela gua 
 R$30,00, o custo total, em reais, dos 
fios utilizados :

<F->
                        {f  
::::::::::::::::::::::::o:::
                        .l
                      .a l
             fio 2 .a   l
                  .a     l  
  {e   fio 1   .a 60  l   
::o:::::::::::j:::::::::h:::
  r::::::: 1 km ::::::::w
<F+>

 a) 28.000 
 b) 24.000 
 c) 15.800 
 d) 18.600 
 e) 25.000 

60. (UEMPR) Em uma praia, um salva-vidas 
est em uma torre cuja altura do 
cho (C) at os seus olhos (O) mede 
aproximadamente 8 metros. Em um determinado 
instante, ele avista um menino 
(M) sob um ngulo de 85. Sabendo-se que 
sen.85 vale aproximadamente 
0,9962 e que cos.85 vale aproximadamente 
0,0872, a distncia da torre at o 
menino  de aproximadamente: 

<F->
{o
 l,.
 l   a,.
 l 85  a,.
 l           a,.
 v---------------u".
{c                 {m
<F+>

 a) 85 metros 
 b) 91 metros 
 c) 97 metros 
 d) 101 metros 
 e) 111 metros 

61. (PUC--MG) Um dos canteiros de uma 
praa tem a forma de um trapzio retngulo, 
com as medidas indicadas na figura 
a seguir. 
<p> 
<F->
             6 m
       .cccccccccccccc
5 m .a               _
   .a                 _
 -u-------------------#                   
         9 m
<F+>

Com base nessas informaes,  correto 
afirmar que a medida da rea desse canteiro, 
em metros quadrados,  igual a: 
 a) 30 
 b) 36 
 c) 37 
 d) 40

62. (UEMG--MG) Observe a figura: 

<F->
                     .,l
                 .,a   l  
       60 m .,a       l 
         .,a           l h 
     .,a 30          l
 -"u-------------------l
<F+>
<p>
Essa figura mostra uma pipa presa a um 
fio esticado que forma um ngulo de 30 
com o solo. O fio possui um comprimento 
igual a 60 m. 
 Neste caso, a altura *h* atingida pela pipa 
ser de: 
 a) 30 m
 b) 302 m
 c) ?153*2 m
 d) 303 m

63. Em um *shopping*, uma pessoa sai do primeiro 
pavimento para o segundo atravs 
de uma escada rolante, conforme a figura a seguir.

<F->
                     .,acccccccl
                 .,a 150     l  
       10 m .,a               l 
         .,a                   l h 
     .,a                       l
 -"u---------------------------l
<F+>
<p>
A altura H, em metros, atingida pela pessoa, 
ao chegar ao segundo pavimento, : 
 a) 15
 b) 10
 c) 5
 d) 3
 e) 2
<R->

               xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxo

Fim da Quinta Parte